অধ্যায় ৬: কণা-প্ৰণালী আৰু ঘূৰ্ণন গতি (System of Particles and Rotational Motion)

১. দুটা কণাৰ ভৰ ক্ৰমে $m_1$আৰু $m_2$। সিহঁতৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ক্ৰমে $\vec{r}_1$ আৰু $\vec{r}_2$হ’লে, তন্ত্ৰটোৰ ভৰকেন্দ্ৰৰ (Center of Mass) অৱস্থান ভেক্টৰ কি হ’ব?
(ক) $\frac{m_1\vec{r}_1 – m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
(খ) $\frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
(গ) $\frac{m_1\vec{r}_2 + m_2\vec{r}_1}{m_1 + m_2}$
(ঘ) $m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2$
উত্তৰ: (খ) $\frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$

২. এটা সুষম বৃত্তাকাৰ থালৰ (Uniform circular disc) ভৰকেন্দ্ৰ ক’ত অৱস্থিত?
(ক) ইয়াৰ পৰিধিৰ যিকোনো বিন্দুত
(খ) ইয়াৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰত
(গ) ইয়াৰ পৃষ্ঠৰ যিকোনো স্থানত
(ঘ) থালখনৰ বাহিৰত
উত্তৰ: (খ) ইয়াৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰত (Geometric centre)

৩. তলৰ কোনটো বস্তুৰ ভৰকেন্দ্ৰ বস্তুটোৰ পদাৰ্থ থকা অংশৰ বাহিৰত অৱস্থিত হ’ব পাৰে?
(ক) এটা নিটোল গোলক
(খ) এখন বৃত্তাকাৰ সৰু থাল
(গ) এটা বৃত্তাকাৰ ৰিং বা আঙঠি
(ঘ) এডাল সুষম দণ্ড
উত্তৰ: (গ) এটা বৃত্তাকাৰ ৰিং বা আঙঠি (ইয়াৰ ভৰকেন্দ্ৰ বায়ু থকা কেন্দ্ৰবিন্দুটোত থাকে) (Circular Ring)

৪. বলৰ ভ্ৰামক বা টৰ্ক (Torque) তলৰ কোনটো গুণফলৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰা হয়?
(ক) $\vec{\tau} = \vec{r} \cdot \vec{F}$
(খ) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
(গ) $\vec{\tau} = \vec{F} \times \vec{r}$
(ঘ) $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{r}$
উত্তৰ: (খ) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

৫. টৰ্ক ($\vec{\tau}$) ৰ এছ আই (SI) একক কি?
(ক) নিউটন-মিটাৰ (N\ m)
(খ) নিউটন/মিটাৰ
(গ) জুল/চেকেণ্ড
(ঘ) ওৱাট
উত্তৰ: (ক) নিউটন-মিটাৰ (N\ m)

৬. কোনো অক্ষৰ সাপেক্ষে ঘূৰি থকা কণা এটাৰ কৌণিক ভৰবেগ ($\vec{L}$) আৰু ৰৈখিক ভৰবেগ ($\vec{p}$) ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো হ’ল—
(ক) $\vec{L} = \vec{p} \times \vec{r}$
(খ) $\vec{L} = \vec{r} \cdot \vec{p}$
(গ) $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
(ঘ) $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v})$
উত্তৰ: (গ) $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$

৭. যদি কোনো তন্ত্ৰৰ ওপৰত ক্ৰিয়া কৰা মুঠ বাহ্যিক টৰ্ক শূন্য হয় ($\vec{\tau}_{ext} = 0$), তেন্তে তলৰ কোনটো ৰাশি সংৰক্ষিত থাকিব?
(ক) ৰৈখিক ভৰবেগ
(খ) গতিশক্তি
(গ) কৌণিক ভৰবেগ
(ঘ) স্থিতিশক্তি
উত্তৰ: (গ) কৌণিক ভৰবেগ ($\vec{L} = \text{ধ্ৰুৱক}$) (Angular Momentum)

৮. জড়তা ভ্ৰামক (Moment of Inertia, I) ৰ এছ আই (SI) একক কি?
(ক) kg\ m
(খ) $kg\ m^2$
(গ) $kg/m^2$
(ঘ) N\ m
উত্তৰ: (খ) $kg\ m^2$

৯. কোনো বস্তুৰ চক্ৰবেমি ব্যাসাৰ্ধ (Radius of Gyration, k) আৰু জড়তা ভ্ৰামক (I) ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো হ’ল (য’ত $M$ মুঠ ভৰ)—
(ক) I = M k
(খ)$I = M k^2$
(গ) $I = M/k^2$
(ঘ) $I = \frac{1}{2}M k^2$
উত্তৰ: (খ) $I = M k^2$

১০. জড়তা ভ্ৰামক তলৰ কোনটো কাৰকৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে?
(ক) বস্তুৰ ভৰ
(খ) ঘূৰ্ণন অক্ষৰ অৱস্থান
(গ) বস্তুৰ আকৃতি আৰু ভৰৰ বিতৰণ
(ঘ) বস্তুৰ কৌণিক বেগ
উত্তৰ: (ঘ) বস্তুৰ কৌণিক বেগ (Angular velocity)

১১. সুষম ঘূৰ্ণন গতি কৰি থকা বস্তু এটাৰ ঘূৰ্ণন গতিশক্তি (Rotational Kinetic Energy) ৰ গাণিতিক ৰূপটো হ’ল—
(ক) $\frac{1}{2}M v^2$
(খ)$\frac{1}{2}I \omega^2$
(গ) $I \omega$
(ঘ) $\frac{1}{2}I^2 \omega$
উত্তৰ: (খ) $\frac{1}{2}I \omega^2$

১২. কৌণিক ভৰবেগ (L), জড়তা ভ্ৰামক (I) আৰু কৌণিক বেগ ($\omega$) ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো কি?
(ক)$L = I \omega$
(খ) $L = I/\omega$
(গ)$L = I \omega^2$
(ঘ) $L = \frac{1}{2}I \omega$
উত্তৰ: (ক) $L = I \omega$

১৩. ঘূৰ্ণন গতিত টৰ্ক ($\tau$) আৰু কৌণিক ত্বৰণ ($\alpha$) ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক দেখুওৱা নিউটনৰ গতিৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ সমতুল্য ৰূপটো হ’ল—
(ক) $\tau = M \alpha$
(খ) $\tau = I \alpha$
(গ) $\tau = I \omega$
(ঘ)$\tau = \frac{dL}{dt}$
• উত্তৰ: (খ) $\tau = I \alpha$ (আৰু সাধাৰণ ৰূপত $\tau = \frac{dL}{dt}$ ও হয়, কিন্তু বিকল্প ‘খ’ আটাইতকৈ উপযুক্ত)

১৪. ঘূৰ্ণন গতি আৰু ৰৈখিক গতিৰ মাজৰ তুলনা কৰিলে, ৰৈখিক গতিৰ ‘ভৰ’ (Mass) ৰ সমতুল্য ৰাশি ঘূৰ্ণন গতিত কি হ’ব?
(ক) টৰ্ক
(খ) কৌণিক ভৰবেগ
(গ) জড়তা ভ্ৰামক
(ঘ) কৌণিক বেগ
উত্তৰ: (গ) জড়তা ভ্ৰামক (Moment of Inertia)

১৫. জড়তা ভ্ৰামক সম্পৰ্কীয় সমান্তৰাল অক্ষৰ উপপাদ্যটো (Parallel axes theorem) হ’ল—
(ক)$I = I_{cm} + M d^2$
(খ) $I = I_{cm} – M d^2$
(গ) $I_z = I_x + I_y$
(ঘ) $I = M d^2$
উত্তৰ: (ক)$I = I_{cm} + M d^2$

১৬. জড়তা ভ্ৰামক সম্পৰ্কীয় লম্ব অক্ষৰ উপপাদ্যটো (Perpendicular axes theorem) কেৱল কেনে বস্তুৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য?
(ক) ত্ৰিমাত্ৰিক কঠিন বস্তু
(খ) দ্বিমাত্ৰিক সমতলীয় পাতল বস্তু
(গ) কেৱল সৰল ৰেখীয় দণ্ড
(ঘ) যিকোনো আকৃতিৰ বস্তু
উত্তৰ: (খ) দ্বিমাত্ৰিক সমতলীয় পাতল বস্তু (Plane laminae) [ $I_z = I_x + I_y$ ]

১৭. M ভৰ আৰু R ব্যাসাৰ্ধৰ এটা সুষম বৃত্তাকাৰ ৰিঙৰ ইয়াৰ কেন্দ্ৰগামী আৰু সমতলৰ লম্ব অক্ষৰ সাপেক্ষে জড়তা ভ্ৰামক কিমান?
(ক) $\frac{1}{2}M R^2$
(খ) $M R^2$
(গ) $\frac{2}{5}M R^2$
(ঘ) $\frac{1}{12}M R^2$
উত্তৰ: (খ) $M R^2$

১৮. M ভৰ আৰু R ব্যাসাৰ্ধৰ এখন সুষম বৃত্তাকাৰ থালৰ (Circular Disc) কেন্দ্ৰগামী আৰু সমতলৰ লম্ব অক্ষৰ সাপেক্ষে জড়তা ভ্ৰামক হ’ব—
(ক) $M R^2$
(খ) $\frac{1}{2}M R^2$
(গ) $\frac{1}{4}M R^2$
(ঘ) $\frac{2}{3}M R^2$
উত্তৰ: (খ) $\frac{1}{2}M R^2$

১৯. এটা নিটোল বা কঠিন গোলকৰ (Solid Sphere) ইয়াৰ যিকোনো ব্যাসৰ সাপেক্ষে জড়তা ভ্ৰামকৰ মান কিমান?
(ক) $\frac{2}{3}M R^2$
(খ)$\frac{2}{5}M R^2$
(গ) $\frac{7}{5}M R^2$
(ঘ) $\frac{1}{2}M R^2$
উত্তৰ: (খ) $\frac{2}{5}M R^2$

২০. এজন বেলেট নৃত্যশিল্পীয়ে (Ballet dancer) ঘূৰি থকা অৱস্থাত হাত দুখন কোচাই ল’লে তেওঁৰ ঘূৰ্ণনৰ গতি তীব্ৰতৰ হয়। ইয়াৰ কাৰণ হ’ল—
(ক) জড়তা ভ্ৰামক বাঢ়ে
(খ) জড়তা ভ্ৰামক কমে আৰু কৌণিক বেগ বাঢ়ে
(গ) বাহ্যিক টৰ্ক বৃদ্ধি পায়
(ঘ) শক্তি অপচয় হয়
উত্তৰ: (খ) জড়তা ভ্ৰামক কমে আৰু কৌণিক বেগ বাঢ়ে (কৌণিক ভৰবেগ সংৰক্ষণৰ বাবে, $I_1\omega_1 = I_2\omega_2)$ $(I \downarrow \implies \omega \uparrow)$

২১. এটা বস্তুৱে পিছলি নোযোৱাকৈ বাগৰি গ’লে (Rolling without slipping) তাৰ মুঠ গতিশক্তি কিহৰ সমষ্টিৰ সমান?
(ক) কেৱল ৰৈখিক গতিশক্তি
(খ) কেৱল ঘূৰ্ণন গতিশক্তি
(গ) ৰৈখিক গতিশক্তি আৰু ঘূৰ্ণন গতিশক্তি দুয়োটা
(ঘ) এটাও নহয়
উত্তৰ: (গ) ৰৈখিক গতিশক্তি আৰু ঘূৰ্ণন গতিশক্তি দুয়োটা [$K_{total} = \frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}I \omega^2$ ] (Translational KE + Rotational KE)

২২. এটা কক বা সোপা (Cork) খুলিবলৈ ফিতা এডাল টানিলে বা স্ক্ৰু এটা পকাই সোমাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা বিপৰীতমুখী সমান বলৰ যোৰটোক কি বোলা হয়?
(ক) কেন্দ্ৰমুখী বল
(খ) বলযুগ্ম
(গ) অপকেন্দ্ৰ বল
(ঘ) ঘাত বল
উত্তৰ: (খ) বলযুগ্ম বা দ্বৈতবল (Couple)

২৩. বলযুগ্ম বা দ্বৈতবলৰ মুঠ লব্ধি বলৰ (Net linear force) মান কিমান?
(ক) সৰ্বাধিক
(খ) শূন্য
(গ) দুয়োটা বলৰ যোগফল
(ঘ) ঋণাত্মক
উত্তৰ: (খ) শূন্য (কিয়নো বল দুটা সমান আৰু বিপৰীতমুখী, কিন্তু ই কেৱল টৰ্ক সৃষ্টি কৰে)

২৪. কোনো কঠিন বস্তুৰ সাম্যাৱস্থাৰ (Equilibrium of a rigid body) বাবে প্ৰয়োজনীয় চৰ্ত হ’ল—
(ক) মুঠ বাহ্যিক বল শূন্য হ’ব লাগিব (ৰৈখিক সাম্যাৱস্থা)
(খ) মুঠ বাহ্যিক টৰ্ক শূন্য হ’ব লাগিব (ঘূৰ্ণন সাম্যাৱস্থা)
(গ) (ক) আৰু (খ) দুয়োটা চৰ্ত পূৰণ হ’ব লাগিব
(ঘ) কেৱল বস্তু স্থিৰ থাকিলেই হ’ব
উত্তৰ: (গ) (ক) আৰু (খ) দুয়োটা চৰ্ত পূৰণ হ’ব লাগিব

২৫. ঘূৰ্ণন গতিত ক্ষমতা (Power, P) ক টৰ্ক ($\tau$) আৰু কৌণিক বেগ ($\omega$) ৰ সহায়ত কেনেকৈ লিখা হয়?
(ক) $P = \tau / \omega$
(খ)$P = \tau \omega$
(গ)$P = \frac{1}{2}\tau \omega^2$
(ঘ) $P = \tau \alpha$
উত্তৰ: (খ) $P = \tau \omega$ (ই ৰৈখিক গতিৰ P = F v ৰ সমতুল্য)

২৬. দুটা গোলকৰ ভৰ আৰু ব্যাসাৰ্ধ একে, কিন্তু এটা নিটোল (Solid) আৰু আনটো ফোঁপোলা (Hollow)। একেটা অক্ষৰ সাপেক্ষে কাৰ জড়তা ভ্ৰামক বেছি হ’ব?
(ক) নিটোল গোলকটোৰ
(খ) ফোঁপোলা গোলকটোৰ
(গ) দুয়োটাৰে সমান হ’ব
(ঘ) নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি
উত্তৰ: (খ) ফোঁপোলা গোলকটোৰ (কিয়নো ফোঁপোলা গোলকৰ ভৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা দূৰত অৰ্থাৎ পৰিধিত বেছিকৈ বিতৰণ হৈ থাকে,$I_{hollow} = \frac{2}{3}MR^2$ আৰু $I_{solid} = \frac{2}{5}MR^2)$(Hollow sphere)

২৭. এটা কণাৰ ৰৈখিক ভৰবেগ $\vec{p} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ আৰু অৱস্থান ভেক্টৰ $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j}$। Z-অক্ষৰ সাপেক্ষে কণাটোৰ কৌণিক ভৰবেগৰ মান কিমান হ’ব?
(ক) ১ একক
(খ) -১ একক
(গ) ৫ একক
(ঘ) শূন্য
উত্তৰ: (ক) ১ একক [$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = 3\hat{k} – 2\hat{k} = 1\hat{k}$ ]

২৮. কোনো ঘূৰ্ণন অক্ষৰ সাপেক্ষে বস্তু এটাৰ চক্ৰবেমি ব্যাসাৰ্ধ (k) তলৰ কোনটোৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে?
(ক) কেৱল বস্তুৰ ভৰ
(খ) বস্তুৰ ভৰ বিতৰণৰ আৰ্হি (Distribution of mass)
(গ) বস্তুৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা বল
(ঘ) এটাও নহয়
উত্তৰ: (খ) বস্তুৰ ভৰ বিতৰণৰ আৰ্হি

২৯. এটা ইঞ্জিনৰ চকাৰ কৌণিক বেগ ১০ চেকেণ্ডত $১২০০\ rpm$(Revolutions per minute) ৰ পৰা $৩১২০\ rpm$লৈ বৃদ্ধি পালে, চকাটোৰ কৌণিক ত্বৰণ ($\alpha$) কিমান হ’ব?
(ক) $৪\pi\ rad/s^2$
(খ) $২\pi\ rad/s^2$
(গ) $৬.৪\pi\ rad/s^2$
(ঘ) $৪\ rad/s^2$
উত্তৰ: (গ) $৬.৪\pi\ rad/s^2$[ $\omega_0 = \frac{2\pi \times 1200}{60} = 40\pi,$ $\omega = \frac{2\pi \times 3120}{60} = 104\pi$; $\alpha = \frac{104\pi – 40\pi}{10} = 6.4\pi$]

৩০. এখন হেলনীয়া তলৰ (Inclined plane) ওপৰৰ পৰা এটা ৰিং, এখন থাল আৰু এটা নিটোল গোলক একেলগে তললৈ এৰি দিলে, কোনটো আটাইতকৈ আগতে তল পাবহি (পিছলি নোযোৱাকৈ বাগৰি গ’লে)?
(ক) ৰিং
(খ) থাল
(গ) নিটোল গোলক
(ঘ) আটাইকেইটা একেলগে পৰিব
উত্তৰ: (গ) নিটোল গোলক (কিয়নো ইয়াৰ বাবে $k^2/R^2$ ৰ মান আটাইতকৈ কম, গতিকে ইয়াৰ তললৈ নামি অহা ত্বৰণ আটাইতকৈ বেছি হয়)(Solid Sphere)